@ 2020.01.13 , 10:00

腦力小體操:見好就收還是賭一把前程

前幾年我曾太監了一本玄幻網文,里面有個情節是,穿越過去的男主,完成宗門考驗心性和決斷力的試煉之旅。

試煉規則:不準回頭,只能一路向前;道路兩旁散落了各種天才地寶,寶物之間有品級優劣之分,而試煉者拾起任何一件寶物,就無法再接觸其它寶物。

主人公應該如何抉擇呢?撿起看到的第一件寶物,無疑是愚蠢的。當他遇到了一件心動的寶物,是應該見好就收,還是繼續前進——賭一把前路上未知的機緣?

好吧,或許有些朋友知道,上面的情節設計其實來自著名的寓言故事——蘇格拉底的麥穗。

傳說古希臘哲學大師蘇格拉底的3個弟子曾求教老師,怎樣才能找到理想的伴侶。于是蘇格拉底帶領弟子們來到一片麥田,讓他們每人在麥田中選摘一支最大的麥穗——不能走回頭路,且只能摘一支。第一個弟子剛剛走了幾步便迫不及待地摘了一支自認為是最大的麥穗,結果發現后面的大麥穗多的是;第二位一直左顧右盼,東瞧西望,直到終點才發現,前面最大的麥穗已經錯過了;第三位把麥田分為三份,走第一個1/3時,只看不摘,分出大、中、小三類麥穗,在第二個1/3里驗證是否正確,在第三個1/3里選擇了麥穗中最大最美麗的一支。

數學家不滿足于寓言故事中折射出的人生智慧,他們更想知道:當事人是否存在理性最優解。

在概率及博弈論上,蘇格拉底的麥穗也被稱為秘書問題(Secretary problem),或相親問題、止步問題、見好就收問題、蘇丹的嫁妝問題、挑剔的求婚者問題等。據說曾被微軟用作面試題目。

你去相親/招聘,有n個候選者。每次見一人,線下見面后要及時決定是否繼續聯系,如果當時不決定,他/她便會刪除聯系方式。見面后能清楚了解對方的合適程度,并能和之前的每個人做比較。問,什么樣的策略,才能以最大概率與最佳對象交往。

按維基百科,問題的最優解是一個停止規則。在這個規則里,面試官會拒絕頭 r - 1 個應聘者(令他們中的最佳人選為 應聘者 M),然后選出第一個比 M 好的應聘者。可見最優策略包含于這個系列的策略中。(如果M在所有n個應聘者中也是最好的一個,那么這個策略將選不出任何人選)對于任意的截斷值 r,最佳人選被選中的概率是:
腦力小體操:見好就收還是賭一把前程
求和符號內概率的計算是基于:如果應聘者 i 是(所有應聘者中的)最佳人選,他被選中當且僅當頭 i - 1 個應聘者中的最佳人選處在頭 r - 1 個被拒絕的應聘者中。令 n 趨近無窮大,把 x 表示為 r/n 的極限,令 t 為 i/n,dt 為 1/n,總和可以近似為如下積分:
腦力小體操:見好就收還是賭一把前程

對P(x),可以求出其極值點x=1/e,此時P=1/e,約為0.37。e為自然常數。結果就是,當n足夠大的時候,你應該把前37%的候選者當做是參考,在之后的選項里,只要出現優于前面所有的對象,就不應錯過。最佳抉擇的概率約等于37%。

注意,因為用到了積分的過程,所以現在的答案實際上是把離散對象連續化的極限結果,與實際上的最佳截斷位置有細微的差異。

問題的衍生版
·選擇者可選多于一人
·求職者的數目未知
·求職者之間的關系可影響選擇
·被拒絕的求職者有一定幾率能被叫回來
·選擇者滿足于次好的人

衍生的問題,就相當復雜了。實際上,如果求職者的數目未知,那么結果依賴于求職者人數n的可能分布模式。

如果n是均勻分布,那么達到最佳抉擇的可能性只有2/e^2。

回到最開始的問題,答案顯而易見了,主人公應該用前37%的路程進行觀察,然后,只要遇到一件品階優于之前所有的寶物,就選擇它!而人生,也是一條試煉之路啊。


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