@ 2020.02.04 , 11:00

需要幾步才能把魔方擰到足夠復雜?

魔方40年來一直是世界上最受歡迎的玩具之一。有大量介紹如何解開魔方的書籍,設計出幾種不同的復原公式。專業的“speedcubers”可以在幾秒鐘內還原一個魔方。

除了驚人的技巧之外,還有許多關于魔方的有趣的數學問題。通過一系列擰轉和變換,可以獲得驚人的43252003274489856000個可能狀態。

根據百科—三階魔方詞條,三階魔方由一個連接著六個中心塊的中心軸以及結構不一的20個方塊構成,當它們連接在一起的時候會形成一個整體,并且任何一面都可水平轉動而不影響到其他方塊。

正確計算式如下:

(8! * 3^8 * 12! * 2^12)/(3 * 2 * 2)= 43252003274489856000

首先六個中心塊是不可以移動的,他們由于顏色的區分正好構成一個坐標系。在這個坐標系里有8個角位置,和12個棱位置。

對于8個角位置,我們有全排列8!而8個小角色塊有3種的朝向,所以要乘上3^8。對于12個棱色塊,同樣的道理,有12!*2^12。

以上兩種組合要合在一起,它的變化數就是把這樣兩個數字相乘,就是上面算式的分子(8! * 3^8 * 12! * 2^12)。

這個結果其實就是如果我們把魔方拆掉,再隨機的組裝起來,一共可以得到的變化數。這個數字是上面結果的12倍。也就是說我們隨意組裝的一個魔方有11/12的概率不能還原到六面分別同色的狀態的。對于分母的3*2*2,它們分別的意義是,保持其他色塊的位置和朝向不變,不可能單獨翻轉一個棱色塊(也就是將其兩個面對調),不可能單獨翻轉一個角色塊,不可能單獨對調一對色塊的位置。

盡管存在如此驚人的復雜性,但數學家在2010年證明,無論初始狀態如何,三階魔方都可以在20步內完成求解。該數字被稱為“上帝數字”,因為人類目前使用的公式還未能達到如此效率。

但是反過來呢:打亂一套齊整的多維數據集需要多少個步驟?乍一看,這聽起來十分容易。畢竟,搗亂和弄糟無需任何技巧。

類似如洗牌問題,是已經被解決的例子。根據1990年數學家Dave Bayer和Perci Diaconis對“鴿尾式洗牌”的著名研究,如一副撲克的順序是隨機的,則將其定義為“洗好的”,Bayer和Diaconis表明,7次洗牌是足夠的,足以洗好標準撲克。

去年,數學家對數字推盤游戲-15進行了類似的研究——數字推盤游戲的板上會有十五個方塊和一個大小相當于一個方塊的空位(供方塊移動之用)。

試圖打亂魔方的典型操作,產生的隨機狀態序列被數學家稱為馬爾可夫鏈。關鍵屬性是,給定當前狀態,下一個狀態的概率不取決于之前任何狀態。

對標準3x3x3魔方的加擾目前還是一個引人入勝的開放問題,不過我們可以界定魔方的打亂程度。將馬爾可夫鏈理論應用到多維數據集加擾中,可以得出結論,隨著隨機移動次數的增加,處于任何一種特定狀態的可能性越來越接近1 / 43252003274489856000。數學家稱其為“均勻概率分布”,因為每種可能的狀態都以相同的概率發生。

對于簡化版的2×2×2小魔方來說,科學家證明,至少需要19步,才可使魔方的排布足夠隨機

本文譯自 phys,由譯者 majer 基于創作共用協議(BY-NC)發布。

其實原文的要點是“馬爾可夫鏈蒙特卡洛”方法。但是,翻出來估計也沒人懂,且還需要配圖輔助理解。有特殊興趣的可以點擊上面的原文。文內末尾的超鏈接是github上的分析和代碼。


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